MOUVEMENT D' UNE PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE


1°) Théorie :

Nous étudierons l'influence d'un champ magnétique uniforme B sur le mouvement d'une particule chargée.
Une particule est caractérisée par sa masse m ( en kg) et par sa charge électrique q ( en C ) ou mieux par sa charge massique q/m ( en C .kg-1).
Un champ magnétique est uniforme s'il garde la même direction, le même sens et la même intensité.

Par la suite nous considérerons comme système : la particule
et nous nous placerons dans un référentiel de laboratoire que l'on considérera Galiléen et on négligera le poids de la particule devant les autres forces.
NB: Les grandeurs en gras sont des grandeurs vectorielles

FORCE MAGNETIQUE DE LORENTZ

a) Expérience:
Un faisceau d'électrons se déplaçant en ligne droite est soumis à l'action du champ magnétique d'un aimant droit.

Quelles sont les caractéristiques de la force d'origine magnétique qui agit sur les particules chargées en mouvement ?

Voir l'animation

b) Force de Lorentz :
Un porteur de charge électrique q, en mouvement à la vitesse v dans une région de l'espace où régne un champ magnétique B , est soumis à une force magnétique F donnée par la relation vectorielle :

lorentz

Cette relation fait intervenir un produit vectoriel,elle permet de déduire les caractéristiques de la force F à partir de celles de v et B

c) Caractéristiques de la force de Lorentz :

Remarques :

  1. Si v et Bsont parallèles alors F = 0
  2. Si v et B sont orthogonaux alors sin ( v , B) = 1 et F =q.v.B

Vous pouvez véridier vos connaissances sur l'exercice suivant

ETUDE DU MOUVEMENT

a) aspect énergétique :
Une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique est soumise à la force magnétique F constamment perpendiculaire au vecteur vitesse v de la particule ; le produit scalaire F . V est donc nul et la puissance de cette force est nulle. La force de Lorentz a toujours une puissance nulle: P = F . v = 0
Si la particule est soumise à la seule force de Lorentz, la puissance qu'elle reçoit est donc nulle or P = dEc / dt donc son énergie cinétique Ec est constante.
Dans un champ magnétique B indépendant du temps, la valeur de la vitesse d'une particule chargée soumise à la seule force de Lorentz reste constante : le mouvement de la particule est uniforme.
Si la force magnétique ne modifie pas la valeur de la vitesse de la particule ni la valeur de son énergie cinétique, elle peut en revanche modifier l'orientation de son vecteur vitesse et donc courber la trajectoire. En présence d'une force magnétique agissant seule, les trajectoires des particules chargées ne sont jamais rectilignes sauf si v est parallèle à B.

b) Expression de l'accélération :
Le système est la particule considérée comme ponctuelle, de masse m et de charge électrique q.
Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire, considéré comme galiléen.
La seule force agissant sur la particule est la force de Lorentz due au champ magnétique uniforme B, soit: lorentz La seconde loi de Newton F= m. a implique:


Le vecteur a est toujours orthogonal aux vecteurs v et B. Le vecteur vitesse v changeant d'orientation au cours du mouvement, le vecteur accélération a est modifié.

c) Nature du mouvement :

  1. Le mouvement est uniforme : On sait que dans un champ magnétique constant le mouvement est uniforme. La vitesse v reste égale à la vitesse vo au point d'entrée O dans le champ magnétique. Cela est confirmé par le fait que: a.v = 0.
  2. la trajectoire est plane :
    Dans le repère (O ,i , j, k ) on a B = B . k et le vecteur accélération a est perpendiculaire à B donc à k .az =0 et par intégration vz = 0 et z =0 .
    Au cours du mouvement, le vecteur vitesse v de la particule reste dans le plan (i, j) : la trajectoire de la particule est située dans le plan orthogonal à B passant par 0 et contenant vo
  3. la trajectoire est circulaire :
    Dans la base de Frenet, l'accélération a pour expression :
    a = dv/dt . u + v2/R .n or v = Constante donc dv/dt = 0 et on aura a= v2/R .n ;
    or B est perpendiculaire à v donc sin ( v, B ) =1 et
    a =(q/m).v.B = v2/R et donc le rayon de la trajectoire sera :
    R = m . v / q . B

2°) Vérifications:

On se propose de vérifier certains résultats théoriques à l'aide de l 'Applet suivante:

Cette application Java montre le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique et /ou magnétique , uniforme :

a) Instructions:

  1. Le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique / magnétique , uniforme .
  2. La flèche bleue qui part de l 'origine représente le champ magnétique (toujours suivant l 'axe des Y ).
  3. La flèche rouge qui part de l 'origine représente le champ électrique .Cliquer avec la bouton gauche prés du bout de la flèche , et déplacer la souris pour changer le champ électrique E ( Direction et intensité),
  4. Vous pouvez aussi changer les valeurs des champs E / B dans les cases correspondantes. Ne pas oublier de valider.
  5. Changer les coordonnées du système:
  6. Changement de la vitesse initiale V : Cliquer avec le bouton Gauche de la souris dans la fenêtre et déplacer la souris .
  7. Les changements ci-dessus dépendent jusqu'où vous pressez le bouton de la souris.
  1. La position , la vitesse initiale et la période du mouvement sont données à gauche de l 'écran .
  2. Pendant l'animation
    1. Si la trajectoire n'est pas dans le plan X-Z :
      • la couleur du tracé est VERTE
      • La courbe noire montre la projection de la trajectoire sur le plan X-Z .
    2. la flèche ROUGE représente la vitesse de la particule .
    3. la flèche BLEUE représente son accélération .
    4. Presser le bouton GAUCHE de la souris pour suspendre l'animation ,presser de nouveau pour reprendre.
    5. Cliquer dans la boite sur la droite pour sauver toutes les traces .
    6. Utiliser le bouton DROIT de la souris pour changer l'angle de vue.
      • L' animation reprend quand vous relâchez le bouton de la souris (avec les mêmes conditions initiales)
      • Si vous avez sauvegarder le tracé, vous pouvez observer la trace depuis plusieurs angles de vue.
  3. Presser le bouton Reset pour effacer les conditions initiales .

a) Travaux Pratiques:

Annuler le champ électrique E = 0 à l'aide de la souris ou en utilisant les cases adéquates.

  1. la trajectoire est plane :
  2. la trajectoire est circulaire
  3. Etude du rayon R :
  4. v n'est plus perpendiculaire à B:
    En prenant pour le vecteur B un direction quelconque dans le plan OXY ou OYZ , observer le mouvement hélicoïdal que prend la particule

3°) Applications :

Les applications des phénomènes de déviation magnétique des particules sont très nombreuses et importantes tant du point de vue théorique (séparation d'isotopes dans un spectrographe, cyclotron pour accélérer des particules chargées, mesure du rapport e/m par J.J. Thomson en 1897 ... ) que du point de vue pratique (nos téléviseurs fonctionnent grâce à une déviation magnétique du faisceau). Nous allons décrire quelques-unes de ces applications.

a) Le spectrographe de masse

Cet appareil, encore appelé spectrographe de Dempster, permet de «trier » des ions de masses différentes et, donc, de séparer les isotopes d'un élément. Il comporte trois parties mises en évidence à la figure ci contre dans un appareil où règne un vide poussé :
  1. une chambre d'ionisation où l'on produit, avec une vitesse sensiblement nulle, des ions de masses différentes, mais de même charge;
  2. une chambre d'accélération où, entre les fentes F et F', les ions sont accélérés par un champ électrostatique;
  3. une chambre de déviation où les ions, dans un champ magnétique uniforme, ont pour trajectoire un demi-cercle de rayon R qui dépend de la masse de la particule. Deux ions de masses différentes m, et m, viennent alors se rassembler dans les collecteurs Cl et C2, où ils sont recueillis séparément (à l'état d'atomes en fait).
Un spectrographe de masse permet de séparer les isotopes d'un élément.

Exercice 1 :
On donne : charge élémentaire : e = 1,60 . 10-19 C;
intensité du champ magnétique : B=0,l T;
masse d'un nucléon (proton ou neutron) mn = 1,67 . 10-27 kg.
Le poids des ions est négligeable par rapport aux forces électrostatique au magnétique qui s'exercent sur eux.
On veut séparer les deux isotopes du brome 79 Br et 81Br dont les masses m1 et m2 sont proportionnelles aux nombres de masse A1= 79 et A2= 81. Les atomes de brome sont d'abord ionisés dans une chambre d'ionisation en ions Br-d'où ils sortent par la fente F avec une vitesse sensiblement nulle . Puis ces ions sont accélérés par un champ électrostatique uniforme entre les plaques P1 et P2; la tension entre ces plaques vaut : UP2P1 = VP2- VP1= Uo=4. 103 V. Enfin, les ions pénètrent, à travers la fente F' et avec un vecteur vitesse vo, perpendiculaire aux plaques, dans une région (chambre de déviation) où règne un champ magnétique uniforme à perpendiculaire au plan de la figure. Ils décrivent alors deux trajectoires circulaires de rayons R1 et R2 et parviennent dans deux collecteurs C1 et C2.
a) Montrer que, quel que soit l'isotope, les ions pénètrent en F' dans la chambre de déviation avec la même énergie cinétique Ec.. Calculer la valeur de Ec en joules puis en keV. Les ions ont-ils la même vitesse en F'?
b) Donner le sens du vecteur B qui permet aux ions d'être déviés vers le bas.
c) Rappeler, sans démonstration, l'expression littérale du rayon R du cercle en fonction de la masse de l'ion, de sa charge, de la tension accélératrice Uo et du champ magnétique B. Conclure.
Calculer R1 et R2.

Pour avoir un corrigé cliquer sur réponse

b)Le cyclotron

Un cyclotron sort à accélérer des particules chargées, des protons par exemple. Ces particules permettent de réaliser des expériences de Physique nucléaire dans le but d'explorer le noyau atomique. Le cyclotron est formé de deux demi cylindres conducteurs creux D1 et D2 dénommés "dees" et séparés par un intervalle étroit. Un champ magnétique uniforme à règne à l'intérieur des "dees", sa direction est parallèle à l'axe de ces demi cylindres. Un champ électrostatique E variable peut être établi dans l'intervalle étroit qui sépare les dees.. Il permet d'augmenter la vitesse des protons à chaque fois quels pénètrent dans cet intervalle. On l'obtient en établissant une tension alternative sinusoïdale de valeur maximale UM et de fréquence N entre les "dees".
Essayons alors de suivre la progression d'un proton . Il entre dans le premier "dee" , avec la vitesse vo, dans le champ magnétique où sa trajectoire est un demi-cercle de rayon R1 et il en sort avec la même vitesse vo. Entre les deux " dees", le proton est accéléré par un champ électrostatique E, sa vitesse devient v1 . Puis,dans le deuxième "dee" , on a un nouveau mouvement circulaire uniforme sur une trajectoire de rayon plus grand (R2>R1) et, lorsque le proton resort, la :tension est inversée et le champ électrostatique vaut maintenant -E. On observe donc une nouvelle accélération du proton (v2>v1); le proton décrit ensuite un nouveau demi-cercle , le rayon étant R3 >R2. Quand il est de retour dans le premier "dee", le champ électrostatique est redevenu E et une autre accélération se produit (v3 > v2)...
Dans un cyclotron, la particule chargée subit une accélération à chaque demi-tour.
Pour illustrer le propos , faire démarrer l' Applet

Exercice 2 :
Dans un cyclotron à protons, on donne :
la valeur du champ magnétique uniforme dans les "dees" B= 1,0 T
la valeur maximale de la tension alternative sinusoïdale que l'on établit entre les " dees" : UM = 2 .103 V
a) Montrer que, dans un "dee", le mouvement d'un proton est circulaire uniforme. On négligera le poids par rapport à la force magnétique.
b) Exprimer littéralement le temps t mis par un proton pour effectuer un demi-tour. Ce temps dépend-ii de la vitesse du proton? Calculer sa valeur numérique.
c) En déduire la valeur de la fréquence N de la tension alternative qu'il faut établir entre les dees pour que les protons subissent une accélération maximale à chaque traversée de l'intervalle entre les dees. Le temps de traversée de cet intervalle est négligeable.
d) Calculer l'énergie cinétique transmise au proton lors de chacune de ses accélérations entre les dees.
e) La vitesse v. d'injection du proton étant négligeable, on désire que sa vitesse atteigne la valeur v=20000 km-s-1. Calculer le nombre de tours que le proton devra décrire dans le cyclotron.
f) A quel rayon ces protons seront-ils alors extraits en admettant quels sont injectés en A à proximité immédiate du centre O?
On donne masse du proton mp = 1,67-10-27 kg; · charge du proton . + e = + 1,60-10-19 C .

Pour avoir un corrigé cliquer sur réponse

c)La déflexion magnétique

La figure ci contre représente la déviation d'un faisceau d'électrons dans un champ magnétique uniforme B perpendiculaire à vo. De O à M', la trajectoire est circulaire, elle devient rectiligne à partir de M' (d'après le principe de l'inertie). Les électrons viennent frapper un écran fluorescent perpendiculaire à vo, au point P.
En l'absence de champ magnétique, la trajectoire serait la droite OO'; elle coïncide avec la droite JM'P après traversée du champ. Le champ magnétique a donc provoqué une déviation angulaire alpha = PJO'.Cet angle (alpha se retrouve en OIM' au centre du cercle trajectoire (angles à côtés perpendiculaires) et on peut évaluer alpha :alpha (rad) = arc ( OM' ) / R
Plaçons-nous alors dans le cas d'une déviation faible (point M' voisin de K ou l << R).
On a alors arc ( OM' ) = l en notant l la largeur du domaine où règne le champ magnétique.
D'où la déviation : alpha (rad) = l / R = l. e . B / m . vo . La position de l'écran fluorescent est, en général, définie à partir du point J : JO'= D La déflexion magnétique est la distance Y= O'P. On obtient par :
tan ( alpha ) = O'P / JO' = y / D soit y = D tan (alpha ) Lorsque la déviation angulaire alpha est petite
tan (alpha )= alpha(rad) et y = D.e.l.B / m.vo . On voit donc que le faisceau est dévié dans une direction perpendiculaire à celle de B : O'P est orthogonal au vecteur B
Le champ magnétique déflecteur est en général créé par une bobine parcourue par un courant .B étant proportionnel à l'intensité I du courant qui le crée ; la déflexion est proportionnelle à l'intensité du courant dans la bobine déflectrice.

d) Le filtre de vitesse

Une source d'ions émet les deux isotopes 6Li + et 7Li + Ces ions pénètrent en O1 dans une zone où règnent simultanément un champ électrique uniforme vertical E et un champ magnétique uniforme horizontal B est perpendiculaire au plan de figure et dirigé vers l'avant. Les vitesses d'entrée des ions en O1 ont des valeurs différentes, mais les vecteurs vitesse ont tous la même direction O1x
Donnée : l'action de la pesanteur sera négligée.
a) Donner la direction, le sens et l'expression littérale de la force électrique Fe, s'exerçant sur un ion lithium pénétrant dans cette zone. Représenter cette force sur le schéma.
b) Donner la direction, le sens et l'expression littérale de la force magnétique FM s'exerçant en O1 sur un ion lithium animé de la vitesse v. Représenter cette force sur le schéma.
c) Des ions pénétrant en O1 avec une vitesse donnée vo sortent en O2 en n'ayant subi aucune déviation. Déterminer la relation existant alors entre les valeurs E , B et vo .
d) Que se passe -t-il pour une vitesse v1 > vo et v2 < vo .Justifier le nom du dispositif.

Pour avoir un corrigé cliquer sur réponse


Ces applets ont été développées par GFu-Kwun Hwang au Dept. of physics, National Taiwan Normal University . Vous pouvez lui Envoyer vos commentaires