CALCULER LA DISTANCE TERRE-SOLEIL
à partir du du passage de Vénus devant le Soleil.

D'après un article de Pierre Causeret, Cahiers Clairaut n108,p 34, (2004)


Photo. G. Paturel
Le plafond de la salle du conseil de l'Observatoire de Paris montrant l'allégorie du passage de Vénus devant le Soleil.

Le 8 juin 2004, on a pu voir Vénus passer devant le Soleil. Cela ne s'était pas produit depuis 1882. Nous vous proposons de calculer la distance du Soleil à partir de photographies de cet évènement.

1. Première partie

Vénus est souvent visible le soir ou le matin, très lumineuse. On l'a surnommée l'étoile du Berger, mais c'est une planète, qui tourne autour du Soleil. Son observation permet de calculer les dimensions relatives des orbites de Vénus et de la Terre.
Vue depuis la Terre, Vénus ne s'éloigne jamais à plus de 46 du Soleil. C'est ce qu'on appelle son élongation maximale.


Le 29 mars 2004, l'angle entre la direction du Soleil et celle de Vénus était maximal et mesurait 46.


On considère que les orbites de la Terre et de Vénus sont des cercles centrés sur le Soleil.

En déduire SV/ST.

2. Deuxième partie

En observant un passage de Vénus devant le Soleil depuis deux lieux éloignés, on peut calculer la distance du Soleil.

Principe : les observateurs placés sur Terre en A (Dijon) et B (La Réunion) voient Vénus devant deux points différents du Soleil, C et D.

a. Les deux photos de la page suivante ont été prises exactement à la même heure (8h30 en Temps Universel) et orientées de la même manière (le nord en haut), la première depuis l'île de La Réunion, la deuxième depuis Dijon. A l'aide d'un calque, superposez ces deux photos. Déterminez l'écart en degrés entre les deux images de Vénus, sachant que le diamètre apparent du Soleil était de 0,525 ce jour là.

b. Ayant mesuré l'azimut et la hauteur du Soleil à 8h30 TU à Dijon, on a pu matérialiser sur un globe terrestre la direction du Soleil observé depuis La Réunion et depuis Dijon.
Déterminer la distance entre ces deux lignes de visée sachant que le diamètre de la Terre est de 12 740 km.


(Pour faire cette photo, le photographe s'est placé de telle manière que la ligne de visée soit perpendiculaire au plan contenant les deux bâtonnets)

c. On considère que (AB) et (CD) sont parallèles (perpendiculaires à la droite Terre - Soleil). En utilisant les résultats des questions 1b et 2b, calculer CD.

d. On vient d'obtenir la mesure de CD en km. On a trouvé dans la question 2a sous quel angle on voyait CD. Il reste à calculer à quelle distance il faut se placer du Soleil pour voir la longueur CD sous l'angle déterminé au 2a et vous aurez la distance de la Terre au Soleil.

Les photos

(les deux photos sont à la même échelle et orientées de la même manière, le nord en haut).

Photo André Peyron
Le Soleil et Vénus photographiés depuis St Louis (île de la Réunion)
le 8 juin 2004 à 8 h 30 Temps Universel.
(Latitude 2117' Sud ; Longitude 55 25' Est).
Photo Pierre Causeret. Vénus photographiée depuis Dijon
le 8 juin 2004 à 8 h 30 Temps Universel.
(Latitude 4719' Nord ; Longitude 5 2' Est).

Correction et remarques

Première partie.

   a. (TV) est tangente à l'orbite de Vénus.

b. Le triangle STV est rectangle en V.

SV/ST = sin 46 0,72

Il faut signaler que, les orbites des planètes étant elliptiques, l'élongation maximale de Vénus varie entre 45 et 47,75.

Deuxième partie

a. Le diamètre du Soleil sur la photo est de 115 mm pour 0,525, l'échelle est donc de 0,0046 par mm.
Dans ce genre d'exercice, on considère que la mesure d'un segment est proportionnelle à l'angle sous lequel on le voit depuis la Terre. C'est vrai pour la mesure des arcs de cercle centrés sur la Terre, cela revient donc ici à assimiler le segment à l'arc de cercle. Les angles étant petits (inférieurs au degré), l'erreur est négligeable.

Quand on superpose les deux photos à l'aide d'un calque, on obtient un écart entre les deux images de Vénus de 1,5 à 2 mm, ce qui donne 0,0069 à 0,0092 avec notre échelle. En utilisant les images numérisées (sur le site du CLEA) et en les superposant à l'aide d'un logiciel, on peut être plus précis. On trouve environ 0,008.

b. Diamètre de la Terre sur la photo : 39 mm pour 12 740 km.
Ecart mesuré entre les deux bâtons sur la photo : 25 mm, ce qui correspond à 8 200 km environ.

c. On a considéré (AB) et (CD) parallèles. On peut donc utiliser le fameux théorème de Thalès pour trouver CD.

Le résultat de la question 1a (SV/ST = 0,72) permet d'écrire : CV = O,72 CA
Donc VA = 0,28 CA et CV/CA = 0,72/0,28

Avec en plus AB = 8 200 km, on trouve
CD 21 000 km.

d. Dernière étape : il reste à trouver à quelle distance on est du Soleil pour voir un segment de 21 000 km sous un angle de 0,008.

Plusieurs méthodes sont possibles :

Avec des proportions (en assimilant le segment de 21 000 km à un arc de cercle centré sur l'observateur) :

0,008 21 000 km. En divisant par 0,008 puis en multipliant par 360 :

360 945 000 000 km. En divisant par 2p, on obtient une distance de 150 000 000 km environ.

Ce calcul peut aussi s'effectuer en utilisant une tangente ou encore en transformant l'angle en radians.

e. Précision :
Le résultat semble tout à fait correct, à comparer avec la distance réelle de 151 800 000 km ce jour-là. Mais si on considère l'imprécision sur les mesures, les problèmes d'orientation des photos et de mise à l'échelle, on s'aperçoit que l'incertitude est en gros comprise entre 10% et 20%.

Conclusion : On peut affirmer que la distance Terre-Soleil est comprise entre 120 et 180 millions de km.
Ce n'est pas très précis mais obtenir un ordre de grandeur correct de la distance Terre-Soleil, c'est déjà bien !

Ont participé à la mise au point du protocole et aux prises de vue :

Thérèse Derolez, Gilles Dodray, Georges Paturel, André Peyron et Pierre Causeret.
Comité de Liaison Enseignants Astronomes.
Site Internet : www.ac-nice.fr/clea