Aristarque essaya de mesurer la distance Terre-Soleil par une méthode très astucieuse mais malheureusement impraticable. En mesurant la durée d qui sépare le dernier quartier du premier quartier, Aristarque essaya d'évaluer l'angle d/2 qui est le complémentaire de l'angle e (figure 1).
Il essaya de déterminer le rapport de la distance Terre-Lune TL à la distance Terre-Soleil TS.
Cette mesure a été faite par Picard, Cassini et Richer en 1672. En pratique, on doit passer par l'observation d'une planète proche (Mars), et déduire la distance Terre-Soleil de la troisième loi de Kepler (a3/P2=constante). Cette mesure a permis à Römer de mesurer la vitesse de la lumière en 1675. La mesure en laboratoire de la vitesse de la lumière a permis à son tour de confirmer la distance Terre-Soleil.
La parallaxe horizontale de Mars.
La parallaxe horizontale est, par définition, l'angle sous lequel on voit le rayon équatorial de la Terre depuis la distance de l'astre considéré. Picard, Cassini et Richer observèrent Mars depuis deux sites (Paris et Cayenne) au moment d'une opposition de Mars, quand Mars était très proche de la Terre. Le décalage de la direction de Mars depuis ces deux sites donne l'angle sous lequel on verrait la distance Paris Cayenne depuis Mars. Picard Cassini et Richer trouvèrent cet angle et en déduisirent la parallaxe horizontale de Mars de 24".
Calculons la distance Terre-Mars au moment de cette opposition de 1672.
La figure 2 montre la relation que l'on a entre l'angle de parallaxe horizontale p" et la distance d en kilomètres. On trouve :
où R est le rayon équatorial de la Terre (R=6400 km). La mesure de Picard, Cassini et Richer conduit donc à une distance Terre-Mars de 55 Mkm, au moment de l'opposition.
Déduction de la distance Terre-Soleil.
L'excentricité de l'orbite terrestre est négligeable dans une première approximation, mais pas celle de Mars. La figure 3 illustre la géométrie du système. Le centre de l'orbite de Mars est C. Les positions du Soleil, de la Terre et de Mars sont S, T et M, respectivement.
On a par définition de l'excentricité e : CS = e.aM, avec CM = aM.
Avec une notation analogue on écrira ST = aT.
On voit que aM = e.aM + aT + d, où d est la distance Terre-Mars au moment de l'opposition. On en tire facilement l'expression suivante :
L'application de la troisième loi de Kepler conduit à :
où les P dénotent les périodes sidérales. En éliminant aM entre ces deux expressions on trouve la distance cherchée :
Attention, cette relation n'est applicable qu'à une planète supérieure. Avec PM = 1,88 ans, PT= 1 an et d = 55 Mkm, on trouve aT = 142 Mkm, qui est une bonne valeur de l'unité astronomique.
La meilleure précision fut obtenue en mesurant la distance Terre-Vénus au moment d'une conjonction, par la méthode de l'écho radar. L'écho radar arrive 276 secondes après l'émission. L'excentricité de Vénus est négligeable et sa période sidérale est PV = 0,615 ans. La relation précédente se simplifie (eV = 0) mais le dénominateur doit être changé de signe (Planète inférieure).
