L’effet de marée

D'après un article qu'avait proposé Hubert Gié dans les Cahiers Clairaut

 

Dans cet exposé, on se propose de faire comprendre pourquoi et dans quelles conditions se produit l’effet de marée, ceci en ayant recours au minimum de calculs pour mieux dégager les principes qui entrent en action dans le phénomène. L’étude complète des marées, même en se limitant aux océans terrestres, sort des limites de cet exposé.

 

Deux rappels préliminaires

 

La loi de Newton exprime que deux masses m1 et m2 placées à une distance d l’une de l’autre, interagissent par attraction mutuelle, la masse m2 subissant par attraction de la masse m1 la force 1/2 dirigée de m2 vers m1, le module de cette force est donnée par  avec G = 6,67.10-11 uSI.

Dans l’espace, la masse m1 crée un champ gravitationnel donné par  où  est le vecteur unitaire de l’axe orienté de m2 vers m1.

 

La relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton) exprime que dans un repère galiléen, un corps de masse inertielle m, soumis à une force , subit une accélération  telle que

 

Cet énoncé postule l’existence d’un référentiel galiléen. Dans ce référentiel, par définition, un point matériel y serait animé d’un mouvement rectiligne et uniforme. En fait les référentiels galiléens ne peuvent être définis qu’approximativement. Une très bonne approximation est réalisée par les axes de Copernic ayant pour origine le centre de masse du système solaire (pratiquement le centre du Soleil) et des axes invariables par rapport aux étoiles. Tout référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport au référentiel de Copernic est un repère galiléen. Par conséquent, le référentiel géocentrique ayant pour origine le centre de la Terre et des axes parallèles aux axes de Copernic n’est pas strictement galiléen du fait du mouvement orbital de la Terre. Il en est de même d’un référentiel terrestre du fait des mouvements de révolution et de rotation de la Terre. Malgré cela, pour de nombreuses études, le référentiel terrestre constitue une bonne approximation pour un référentiel galiléen.

 

Seconde remarque, du fait de l’identité des masses gravitationnelle et inertielle on retrouve l’égalité  Dans un champ gravitationnel, les différentes parties d’un corps subissent la même accélération. Le corps ne se disloque pas, à condition que sur l’étendue du corps, le champ gravitationnel soit uniforme.

Dans un champ non uniforme, en un point 1 on aura l’égalité  et en un point 2 . On en déduit la formule différentielle de base

 

 

 

L’effet dislocateur

étudions ce qui se passe dans une cage d’ascenseur en chute libre et contenant deux billes B1 et B2. L’égalité  exprime que la cage et les billes sont soumises à la même accélération et elles descendent donc ensemble.

 

 

Ceci serait tout à fait vrai si le champ gravitationnel était uniforme, mais il ne l’est pas. Soit J le centre d’inertie de la cage supposée rigide, , accélération de la cage, est égale au champ . Le champ n’étant pas uniforme, la bille B1 subit le champ  () et la bille B2, en bas de la cage subit l’attraction  ().

 

Par rapport à la cage, le bille B1 subit l’attraction différentielle qui la repousse vers le plafond ; alors que la bille B2 soumise à ira vers le plancher.

 

L’attraction différentielle dans un champ gravitationnel non uniforme provoque cet effet dislocateur qui est l’effet de marée.

 

L’effet de marée de la Lune sur la Terre

 

Dans un référentiel géocentrique, comparons le champ gravitationnel de la Lune en deux points situés à la surface de la Terre (pour simplifier, pris diamétralement opposés sur l’axe joignants les centres de la Terre et de la Lune).

D : distance Tere-Lune ; M : masse de la Lune ; R : rayon de la Terre ;  : vecteur unitaire de l’axe orienté de T vers L.

 

Champ gravitationnel de la Lune en 1 :

Champ gravitationnel de la Lune en T :

Champ gravitationnel de la Lune en 2 :

Le champ gravitationnel de la Lune n’étant pas uniforme, il y a effet de marée. En 2, par rapport à la Terre, il est donné par

Après calcul on trouve :  ou

Si on considère R négligeable devant D on obtient :

On trouverait de même. Le facteur 2R/D traduit l’effet différentiel. En comparant les deux dernières relations, on constate que le bourrelet sera aussi important en 1 qu’en 2, mais cet effet différentiel est peu intense puisque que le facteur 2R/D a environ pour valeur 1/30.

 

Remarques.

 

L’effet de marée du Soleil sur la Terre

 

Du fait de sa masse et malgré sa grande distance, le champ gravitationnel du Soleil sur la Terre est environ 175 fois plus intense que celui de la Lune sur la Terre. Mais l’effet de marée produit par le Soleil est deux fois plus faible que celui produit par la Lune.

En effet, la relation suivante peut s’écrire : . Donc l’effet de marée produit sur Terre va dépendre de la masse M de l’astre et du cube de sa distance.

 

 

L’effet de marée de la Terre sur la Lune

Le champ gravitationnel de la Terre sur la Lune est environ 80 fois plus intense que celui de la Lune sur la Terre, mais le rayon de la Lune est à peu près égal à un quart du rayon de la Terre. De ce fait l’effet de marée produit par la Terre sur la Lune sera environ 20 fois plus important que celui produit par la Lune sur la Terre. Cet effet provoque une déformation de la Lune responsable de séismes lunaires (Apollo12).

 

Le trio Soleil-Terre-Lune

 

Dans le système solaire, le champ gravitationnel solaire est prépondérant. Le calcul montre que l’attraction du Soleil sur la Lune est deux fois plus grande que celle de la Terre sur la Lune. Alors comment se fait-il que la Lune reste au voisinage de la Terre.

Le couple Terre-Lune, dans le champ gravitationnel non uniforme du Soleil subit l’effet dislocateur de l’effet de marée.

 

En reprenant les calculs précédents, on peut écrire

La Terre et la Lune par leur attraction mutuelle s’opposent à l’effet dislocateur du Soleil. Cet effet attracteur se traduit par la différence entre les accélérations dues à l’attraction de la Terre sur la Lune et celle de la Lune sur la Terre . Nous avons déjà vu que l’attraction de la Terre sur la Lune est 80 fois plus importante que celle de la Lune sur la Terre.

Donc : .

Certainement qu’en ce moment, cet effet attracteur est supérieur à l’effet dislocateur puisque la Lune reste près de la Terre. Pour que la Lune s’éloigne de la terre, il faudrait que  donc

D’où  et   soit environ 1,7.106 km.

 

Remarque

 

Les frottements sur les fonds océaniques dus aux marées ralentissent la rotation de la Terre (allongement du jour), mais la conservation du moment cinétique implique de ce fait un éloignement de la Lune. Celui-ci n’étant que de quelques mètres par siècle, nous avons encore du temps pour admirer la Lune et voir de belles occultations du Soleil ("éclipses de Soleil") par celle-ci, c'est vrai de plus en plus annulaires.