L'application au cas d'une conjonction inférieure : Les calculs

Légende :

SA et SB sont les " images " de la planète sur le disque du Soleil, respectivement observées depuis les observatoires A et B.
as désigne la parallaxe du Soleil vu depuis les deux observatoires de la Terre.
ap désigne la parallaxe de la planète vue depuis les deux observatoires de la Terre.
Afin de simplifier le raisonnement, nous avons tracé une parallèle à (ASA) passant par B.
a désigne l'écart angulaire entre SA et SB " vus " depuis un point de la Terre

Nous constatons sur la figure que a est égal à ap- as . a est donc la différence entre les parallaxes de la Planète et du Soleil.

Et en utilisant les observations depuis deux points de la Terre, on est en mesure de déterminer la valeur de cet angle a.

D'où les exploitations et les calculs généraux :

Puisque l'angle ap est ici très petit (de l'ordre du demi-degré), nous pouvons utiliser la formule applicable dans un cercle, à savoir que la distance entre les deux observatoires est égale au produit de l'angle en radians par la distance séparant les deux planètes.
Nous pouvons en déduire la valeur des deux parallaxes :

et

Il est alors facile d'exprimer l'angle a en radians en fonction de toutes ces données :

Puisque c'est une fraction de dT, nous pouvons écrire :

Nous obtenons alors :

En conclusion :

Pour mesurer la distance Terre Soleil, nous avons donc besoin de deux photos prises depuis deux villes aussi éloignées que possible. Nous devons déterminer précisément la distance AB entre les droites parallèles menées depuis ces deux villes en direction du Soleil. Les photos nous permettront de mesurer a par comparaison avec le diamètre apparent du Soleil. La valeur de k pourra être calculée à partir de l'équation des orbites ou mesurée sur notre maquette.