Atelier A01 : compléments

Quelques calculs à propos d'éclipse (Maths et Sciences Physiques)

1. Vitesse de l'ombre (composition de vitesse)

On peut calculer de manière très approximative la vitesse de l'ombre de la Lune sur la Terre. Celle-ci découle de la révolution de la Lune autour de la Terre et du mouvement de rotation de la Terre sur elle-même. Les vitesses seront calculées dans un repère lié à l'axe Soleil-Terre.

Pour simplifier, on considérera l'axe de la Terre perpendiculaire au plan de l'écliptique et le plan de l'orbite de la Lune confondu avec l'écliptique.

-Vitesse de la Lune sur son orbite :
Rayon moyen de l'orbite : 384 000 km.
Période (par rapport à l'axe Soleil-Terre) : 29,5 j.
v(Lune) = (2p ´ 384 000)/(29,5´ 24) » 3400 km/h.

-Vitesse de l'ombre sur une Terre fixe :
Si l'on considère une source lumineuse à l'infini, la vitesse d'un objet est égale à la vitesse de son ombre sur un écran perpendiculaire aux rayons lumineux.
Si l'observateur voit le Soleil au zénith, on sera dans ce cas et la vitesse de l'ombre sera aussi de 3400 km/h (d'Ouest en Est).

-Vitesse de l'observateur due à la rotation de la Terre, à une latitude de 48 :

v(Obs) = (40000´ cos 48)/24 » 1100 km/h. Si la Lune était fixe, l'ombre se déplacerait d'Est en Ouest à la vitesse de 1100 km/h.

Avec les hypothèses précédentes, on obtient une vitesse résultante de 3400 - 1100 = 2300 km/h (d'Ouest en Est)

Les éphémérides donnent 2850 km/h. La différence vient principalement du fait que l'ombre se projette sur un plan qui n'est pas perpendiculaire à la direction des rayons lumineux, ce qui augmente sa vitesse.

2. A quelle distance faut-il placer la Lune pour qu'il y ait éclipse de Soleil ? (niveau 3ème-2de)

Un observateur O terrestre est situé à 150 000 000 km de la Terre.

-On cherche à quelle distance de O il faut placer la Lune pour qu'elle cache exactement le Soleil ; le diamètre de la Lune est de 3 500 km et celui du Soleil, 1 400 000 km.

-On donne pour l'éclipse du 22 août 1998 vue en Indonésie une distance Terre Lune égale à 394 000 km et pour le 11 août 1999, une distance de 373 000 km. Que peut-on en conclure ?

 

Il s'agit d'une application directe du théorème de Thalès tel qu'on l'utilise en maths en classe de 3ème.
On obtient environ 372 000 km pour la première question.
Le 22 août 1998, la Lune était trop éloignée et elle apparaissait trop petite pour cacher le Soleil. On a observé une éclipse annulaire.
Le 11 août 1999, on sait que l'éclipse sera totale. La distance Terre Lune est donnée de centre à centre. L'observateur étant situé à la surface de la Terre, il sera à une distance de la Lune inférieure à 372 000 km.
Ces calculs sont approximatifs, la distance Terre Soleil variant aussi un peu.

3. Calculs plus précis pour l'éclipse du 11 août 1999

Le 11 août 1999, la distance Terre Soleil sera de 151 630 000 km et la distance Terre-Lune de 373 000 km (de centre à centre).

On veut calculer la longueur du cône d'ombre pour savoir si l'éclipse sera bien totale.

On ne sait pas où est la Terre par rapport au sommet du cône d'ombre. Mais on peut trouver la distance Soleil Lune et le théorème de Thalès permet alors de calculer la longueur du cône d'ombre. On obtient 377 000 km. Un observateur situé au centre de la face éclairé (dans l'hypothèse d'un alignement parfait Soleil Lune Terre) sera distant du centre de la Lune de 367 000 km. L'éclipse sera donc totale.

4. Déterminer le pourcentage de la surface du disque solaire éclipsé

En de nombreux lieux de France, l'éclipse ne sera que partielle. Il est intéressant de calculer le pourcentage de la surface du disque solaire éclipsé à partir d'une photo.

En attendant d'avoir réalisé vos propres photos, vous pouvez vous entraîner sur celle-ci.

En calculant des aires de secteurs circulaires et de triangles, on trouve environ 47%.